Obor hodnôt

Vložené

Úloha. Aké hodnoty môže nadobúdať výraz

a\cos t-b\sin t,

ak a, b sú kladné konštanty a t je ľubovoľné reálne číslo?
Riešenie. Stačí si uvedomiť, že existuje taký uhol \varphi, že platí

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi),

kde c je vhodná konštanta. Naozaj,

c\cos(t+\varphi)=c\cos t\cos\varphi-c\sin t\sin\varphi,

odkiaľ a=c\cos\varphi a b=c\sin\varphi. Potom

\frac{b}{a}=\tan\varphi.

Nakreslite si pravouhlý trojuholník, ktorého odvesny majú dĺžky a a b. Potom prepona tohto trojuholníka má dĺžku c=\sqrt{a^2+b^2}. Pretože kosínus môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-1,1\rangle, výraz

a\cos t-b\sin t=c\cos(t+\varphi)

môže nadobúdať ľubovoľnú hodnotu z intervalu \langle-c,c\rangle.

Operátorová norma matice: príklad

Vložené

Úloha. Vypočítajte operátorovú normu matice A=\left(\begin{array}{cr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right).
Riešenie. Pre z=\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right) také, že \|z\|_2=1, platí x^2+y^2=1. Položme x=\cos t a y=\sin t. Potom

\|Az\|_2=\left\|\left(\begin{array}{cr} 1 & -1 \\ 1 & 0 \\ \end{array}\right)\left(\begin{array}{c} x \\ y\end{array}\right)\right\|_2=\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2t-\sin2t}

Pretože pre funkciu

f(t)=\frac{3}{2}+\frac{1}{2}\cos2t-\sin2t

máme

f'(t)=-\sin2t-2\cos2t

platí

f'(t)=0\Leftrightarrow \tan2t=-2


V pravouhlom trojuholníku s odvesnami dĺžky 1 a 2 máme uhol \varphi, ktorého tangens je rovný číslu 2.

Prepona tohto trojuholníka má dĺžku

c=\sqrt{1^2+2^2}=\sqrt{5}

Potom pre uhol \varphi platí
\begin{align} \sin\varphi&=\frac{2}{\sqrt{5}}\\ \cos\varphi&=\frac{1}{\sqrt{5}}\end{align}
Potom \begin{align}f(t)&=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\frac{1}{\sqrt{5}}\cos2t-\frac{2}{\sqrt{5}}\sin2t\right)=\\ &=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\left(\cos\varphi\cos2t-\sin\varphi\sin2t\right)=\\ &=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}\cos(\varphi+2t)\end{align} Odtiaľ

\max_{0\leq t<2\pi}f(t)=\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}

Preto

\|A\|=\sqrt{\frac{3}{2}+\frac{\sqrt{5}}{2}}


Súčet radu: príklad

Vložené

The William Lowell Putnam Mathematical Competition 1988
Problem B-4. Dokážte, že ak \sum\limits_{n=1}^\infty a_n je konvergentný číselný rad s kladnými členmi, potom aj rad \sum\limits_{n=1}^\infty (a_n)^{n/(n+1)} je konvergentný.
Riešenie: Využijeme nerovnosť medzi aritmetickým a geometrickým priemerom.
\begin{align}
a_n^{\frac{n}{n+1}}&=\sqrt[n+1]{\frac1{n+3}\cdot(n+3)a_n\cdot a_n^{n-1}}\leq\\ &\leq\frac{\frac1{n+3}+(n+3)a_n+(n-1)a_n}{n+1}=\\ &=\frac1{(n+1)(n+3)}+2a_n.
\end{align}
Ďalšie riešenia nájdete v sekcii Pre učiteľov.